Cấu Trúc Dữ Liệu Trong Java Bài 6: Cây Nhị Phân Cân Bằng

CÂY NHỊ PHÂN CÂN BẰNG HOÀN TOÀN

Định nghĩa

Cây cân bằng hoàn toàn là cây nhị phân tìm kiếm mà tại mỗi nút của nó, số nút của cây con trái chênh lệch không quá một so với số nút của cây con phải.

Đánh giá 

Một cây rất khó đạt được trạng thái cân bằng hoàn toàn và cũng rất dễ mất cân bằng vì khi thêm hay hủy các nút trên cây có thể làm cây mất cân bằng (xác suất rất lớn), chi phí cân bằng lại cây lớn vì phải thao tác trên toàn bộ cây.

Tuy nhiên nếu cây cân đối thì việc tìm kiếm sẽ nhanh. Đối với cây cân bằng hoàn toàn, trong trường hợp xấu nhất ta chỉ phải tìm qua log2n phần tử (n là số nút trên cây).

Sau đây là ví dụ một cây cân bằng hoàn toàn (CCBHT):

CCBHT có n nút có chiều cao h » log2n. Đây chính là lý do cho phép bảo đảm khả năng tìm kiếm nhanh trên CTDL này.

Do CCBHT là một cấu trúc kém ổn định nên trong thực tế không thể sử dụng. Nhưng ưu điểm của nó lại rất quan trọng. Vì vậy, cần đưa ra một CTDL khác có đặc tính giống CCBHT nhưng ổn định hơn.

Như vậy, cần tìm cách tổ chức một cây đạt trạng thái cân bằng yếu hơn và việc cân bằng lại chỉ xảy ra ở phạm vi cục bộ nhưng vẫn phải bảo đảm chi phí cho thao tác tìm kiếm đạt ở mức O(log2n).

CÂY NHỊ PHÂN CÂN BẰNG (AVL)

Định nghĩa:

Cây nhị phân tìm kiếm cân bằng là cây mà tại mỗi nút của nó độ cao của cây con trái và của cây con phải chênh lệch không quá một.

Dưới đây là ví dụ cây cân bằng (lưu ý, cây này không phải là cây cân bằng hoàn toàn):

Dễ dàng thấy CCBHT là cây cân bằng. Điều ngược lại không đúng.

Lịch sử cây cân bằng (AVL Tree)

AVL là tên viết tắt của các tác giả người Nga đã đưa ra định nghĩa của cây cân bằng Adelson-Velskii và Landis (1962). Vì lý do này, người ta gọi cây nhị phân cân băng là cây AVL. Từ nay về sau, chúng ta sẽ dùng thuật ngữ cây AVL thay cho cây cân bằng.

Từ khi được giới thiệu, cây AVL đã nhanh chóng tìm thấy ứng dụng trong nhiều bài toán khác nhau. Vì vậy, nó mau chóng trở nên thịnh hành và thu hút nhiều nghiên cứu. Từ cây AVL, người ta đã phát triển thêm nhiều loại CTDL hữu dụng khác như cây đỏ-đen (Red-Black Tree), B-Tree, …

Chiều cao của cây AVL

Một vấn đề quan trọng, như đã đề cập đến ở phần trước, là ta pjải khẳng định cây AVL n nút phải có chiều cao khoảng log2(n).

Để đánh giá chính xác về chiều cao của cây AVL, ta xét bài toán: cây AVL có chiều cao h sẽ phải có tối thiểu bao nhiêu nút ?

Gọi N(h) là số nút tối thiểu của cây AVL có chiều cao h.

Ta có N(0) = 0, N(1) = 1 và N(2) = 2.

Cây AVL tối thiểu có chiều cao h sẽ có 1 cây con AVL tối thiểu chiều cao h-1 và 1 cây con AVL tối thiểu chiều cao h-2. Như vậy:

N(h) = 1 + N(h-1) + N(h-2) (1)

Ta lại có: N(h-1) > N(h-2)

Nên từ (1) suy ra:

N(h) > 2N(h-2)

N(h) > 22N(h-4)

…

N(h) > 2iN(h-2i)

Þ N(h) > 2h/2-1

Þ h < 2log2(N(h)) + 2

Như vậy, cây AVL có chiều cao O(log2(n)).

Ví dụ: cây AVL tối thiểu có chiều cao h=4

Chỉ số cân bằng của một nút:

Định nghĩa: Chỉ số cân bằng của một nút là hiệu của chiều cao cây con phải và cây con trái của nó.

Đối với một cây cân bằng, chỉ số cân bằng (CSCB) của mỗi nút chỉ có thể mang một trong ba giá trị sau đây:

CSCB(p) = 0 <=> Độ cao cây trái (p) = Độ cao cây phải (p)

CSCB(p) = 1 <=> Độ cao cây trái (p) < Độ cao cây phải (p)

CSCB(p) =-1 <=> Độ cao cây trái (p) > Độ cao cây phải (p)

Để tiện trong trình bày, chúng ta sẽ ký hiệu như sau:

p.balFactor = CSCB(p);

Độ cao cây trái (p) ký hiệu là hL

Độ cao cây phải(p) ký hiệu là hR

Để khảo sát cây cân bằng, ta cần lưu thêm thông tin về chỉ số cân bằng tại mỗi nút. Lúc đó, cây cân bằng có thể được khai báo như sau:

class tagAVLNode {

char balFactor; //Chỉ số cân bằng

Data key;

tagAVLNode pLeft;

tagAVLNode pRight;

}

typedef AVLNode *AVLTree;

Để tiện cho việc trình bày, ta định nghĩa một số hăng số sau:

#define LH -1 //Cây con trái cao hơn

#define EH -0 //Hai cây con bằng nhau

#define RH  1 //Cây con phải cao hơn

Đánh giá cây AVL

Cây cân bằng là CTDL ổn định hơn hẳn CCBHT vì chỉ khi thêm hủy làm cây thay đổi chiều cao các trường hợp mất cân bằng mới có khả năng xảy ra.

Cây AVL với chiều cao được khống chế sẽ cho phép thực thi các thao tác tìm thêm hủy với chi phí O (log2(n)) và bảo đảm không suy biến thành O(n).